Andrzej Orkisz debiutował w 1959 w Filharmonii Krakowskiej "Koncertem wiolonczelowym B-dur" Luigi Boccheriniego, z orkiestrą pod dyrekcją Witolda Krzemieńskiego. Od 1960 do 1962 grał w orkiestrze Opery Krakowskiej, w 1962 w Wielkiej Orkiestrze Symfonicznej Polskiego Radia w Katowicach, w latach 1962-72 w Filharmonii Narodowej w Warszawie, gdzie był zastępcą koncertmistrza oraz koncertmistrzem. Z zespołem tym koncertował w większości krajów Europy, w Stanach Zjednoczonych, Kanadzie, Australii, Japonii oraz na Bliskim i Dalekim Wschodzie.
Andrzej Orkisz jako solista występował w Polsce, wielu krajach europejskich i Meksyku. Działał również jako kameralista - w latach 1969-85 był członkiem Warszawskiego Kwintetu Fortepianowego, z którym koncertował w Europie, Ameryce Północnej i Łacińskiej. Grał w duecie wiolonczelowym z żoną Anną Orkisz, a także z takimi artystami, jak Martha Argerich, Claudio Arrau, Aleksander Brailowski, Gaspar Cassado, Zino Francescatti, Emil Gilels, Bronisław Gimpel, Barbara Halska, Eugene George Istomin, Witold Małcużyński, Maja Nosowska, Maurizio Pollini, Jean-Pierre Rampal, Andrzej Ratusiński, Światosław Richter, Mścisław Rostropowicz, Artur Rubinstein, Isaac Stern, Igor Strawiński, Henryk Szeryng, Władysław Szpilman.
Dokonał licznych nagrań dla Polskiego Radia i Telewizji Polskiej. Z Warszawskim Kwintetem Fortepianowym (z Władysławem Szpilmanem - fortepian, Igorem Iwanowem - skrzypce, Janem Tawroszewiczem - skrzypce i Stefanem Kamasą - altówka) zarejestrował dla firm fonograficznych Polskie Nagrania i Olimpia "Kwintet fortepianowy A-dur" op. 81 Antonína Dvořáka, "Kwintet fortepianowy f-moll" op. 34 Johannesa Brahmsa oraz "I Kwintet fortepianowy" i "II Kwintet fortepianowy" Grażyny Bacewicz.
Andrzej Orkisz zajmuje się pracą pedagogiczną. W latach 1969-84 wykładał w Akademii Muzycznej w Warszawie, w latach 1980-82 również w Akademii Muzycznej w Krakowie, zaś od 1984 do 1992 w Konserwatorium w Tarbes (Francja). Obecnie prowadzi równolegle klasy wiolonczeli w Akademii Muzycznej w Łodzi (od 1992), w Zespole Szkół Muzycznych nr 1 w Warszawie (od 1992) i w Akademii Muzycznej Warszawie (od 1997). W 1994 otrzymał tytuł profesora. Ponadto wykładał na wielu kursach mistrzowskich, m.in. w Łańcucie, Gdańsku, Zakopanem, Kołobrzegu, Bordeaux, Mont-de-Marson we Francji i mieście Meksyku. Zasiadał w jury polskich oraz międzynarodowych konkursów, m.in. konkursu muzycznego UNESCO w Bergerac (1989).